Zadar

Subašić memulakan kerjaya profesionalnya di kelab kampung halamannya, Zadar ketika musim 2003–04.

Hajduk Split

Pada musim panas 2008, beliau telah dipinjam ke Hajduk Split dan bermain 18 perlawanan liga pada separuh musim 2008–09. Ketika musim sejuk, kelab beliau ingin membeli beliau secara rasmi. Subašić kemudian bermain 13 perlawanan liga dalam separuh kedua musim. Pada awal musim, beliau juga membuat tiga kemunculan di kelayakan Liga Europa.

Ketika musim keduanya di Hajduk, beliau telah membuat 28 kemunculan liga dan pada musim itu juga, beliau membantu kelabnya menjuarai Piala Croatia.

Dalam musim 2010–11, beliau telah membuat 20 penampilan liga. Beliau kemudian mengalami kecederaan lutut pada awal bulan November sebelum beliau dikeluarkan dari skuad sehingga tahun baru. Pada musim itu, Hajduk akhirnya layak ke Liga Europa.

Monaco

Pada Januari 2012, Subašić sertai kelab gergasi Perancis, AS Monaco yang bertanding di Ligue 2. Beliau membuat 17 penampilan untuk kelab pad musim 2011–12 Ligue 2. Dalam pusingan terakhir musim, beliau menjaringkan gol kemenangan dari sepakan percuma untuk menang 2-1 ke atas Boulogne. Dalam musim baharu, Subašić hanya terlepas 3 perlawanan liga. Pada 10 Ogos 2013, beliau membuat debut Ligue 1 untuk Monaco menentang Bordeaux, Monaco menang 2-0. Subašić bermain sebanyak 35 perlawanan di Ligue 1 dan Monaco menghabiskan musim 2013–14 sebagai naib juara.